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math/SquareFibonacci/README.md

@@ -34,7 +34,7 @@ $m \equiv 3 \pmod 4$ なる正の有理整数 m 、および m と互いに素
 - (cong-F) $2 | k$ のとき、$F_{n+2k} \equiv -F_n \pmod{L_k}$
   - [[Cohn]] の (12)
 
-証明: TODO
+[証明](proof-cong.md)
 
 #### 周期性
 

math/SquareFibonacci/proof-cong.md

@@ -0,0 +1,28 @@
+### (cong-L)
+- (cong-L) $2 | k$ のとき、$L_{n+2k} \equiv -L_n \pmod{L_k}$
+
+証明
+
+$L_k | L_{n+2k} + L_n$ が言えれば良い。
+$k$ が偶数であり $L_k = \phi^k + \overline\phi^k = \phi^k + \phi^{-k} = \overline\phi^k + \overline\phi^{-k}$ が成立することに注意すると、
+
+$$\begin{align*}
+L_{n+2k} + L_n &= \phi^{n+2k} + \overline\phi^{n+2k} + \phi^n + \overline\phi^n \\\\
+&= \phi^{n+2k} + \phi^n + \overline\phi^{n+2k} + \overline\phi^n \\\\&= (\phi^k+\phi^{-k})\phi^{n+k} + (\overline\phi^k+\overline\phi^{-k})\overline\phi^{n+k} \\\\
+&= (\phi^k+\phi^{-k})(\phi^{n+k} + \overline\phi^{n+k}) \\\\
+&= L_kL_{n+k}
+\end{align*}$$
+
+### (cong-F)
+- (cong-F) $2 | k$ のとき、$F_{n+2k} \equiv -F_n \pmod{L_k}$
+
+証明
+
+上と同様である。ただし $\sqrt{5}$ が分母に来ているのでそこの処理が面倒。
+
+$$\begin{align*}
+F_{n+2k} + F_n &= \frac{\phi^{n+2k} - \overline\phi^{n+2k} + \phi^n - \overline\phi^n}{\sqrt{5}} \\\\
+&= \frac{\phi^{n+2k} + \phi^n - \overline\phi^{n+2k} - \overline\phi^n}{\sqrt{5}} \\\\
+&= \frac{(\phi^k+\phi^{-k})(\phi^{n+k} - \overline\phi^{n+k})}{\sqrt{5}} \\\\
+&= L_k F_{n+k}
+\end{align*}$$

math/SquareFibonacci/proof-factor.md

@@ -1,6 +1,6 @@
 # 証明
 ### (F-even)
-- $F_{2m} = F_mL_m$
+- (F-even): $F_{2m} = F_mL_m$
 
 式変形をすれば明らか。
 $$\begin{align*}
@@ -9,10 +9,9 @@ F_{2m} &= (\phi^{2m}-\overline\phi^{2m})/\sqrt{5}\\\\
 &= L_mF_m
 \end{align*}$$
 
-### (gcd-3)
-- $\mathrm{gcd}(F_{3m}, L_{3m}) = 2$
-### (gcd-not-3)
-- $3 \not| n$ のとき、 $\mathrm{gcd}(F_{n}, L_{n}) = 1$
+### (gcd-3), (gcd-not-3)
+- (gcd-3): $\mathrm{gcd}(F_{3m}, L_{3m}) = 2$
+- (gcd-not-3): $3 \not| n$ のとき、 $\mathrm{gcd}(F_{n}, L_{n}) = 1$
 
 似たような命題なので同時に証明する。