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Math-Ba-STOCHV/STOCHV_Vorlesung/stochv_1_1_zentraleFragestellungen.tex

@@ -0,0 +1,36 @@
+\section{Zentrale Fragestellungen der Finanzmathematik}
+
+\subsection{Bewertung von Derivaten und Abischerung gegen aus deren Kauf/Verkauf entstehende Risiken}
+
+\begin{definition}[Derivat]
+	Ein \begriff{Derivat} ist ein Finanzprodukt, dessen Auszahlung sich vom Preis eines oder mehrerer Basisgüter [underlying] ableitet.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+	\begin{itemize}[nolistsep, leftmargin=*, topsep=-\parskip]
+		\item Recht in drei Monaten 100.000 GBP gegen 125.000 EUR zu erhalten (Call-Option; underlying: Wechselkurs GBP in EUR)
+		\item Recht innerhalb des nächsten Jahres 100.000 MWh elektrische Energie zum Preis von 30 EUR/MWh zu konsumieren mit Mindestabnahme 50.000 MWh (Swing-Option; underlying: Strompreis)
+		\item Kauf- und Verkaufsoptionen azf Aktien (underlying: Aktienkurs)
+	\end{itemize}
+\end{beispiel}
+
+\textbf{Fragestellungen:}
+\begin{itemize}[nolistsep, label=--, topsep=-\parskip]
+	\item Was ist der ''faire`` Preis für solch ein Derivat? (''Pricing`` / Bewertung)
+	\item Wie kann sich der Verkäufer gegen die eingegangenen Risiken absichern? (''Hedging`` / Absicherung)
+\end{itemize}
+
+\subsection{Optimale Investition: Zusammenstellen von nach Risiko-/ Ertragsgesichtspunkten optimalen Portfolios}
+
+\begin{itemize}[nolistsep, leftmargin=*, topsep=-\parskip]
+	\item Wie wäge ich Risiko gegen Ertrag ab?
+	\item Was bedeutet optimal?
+	\item Lösung des resultierenden Optimierungsproblems
+\end{itemize}
+
+\subsection{Risikomanagement und Risikomessung}
+
+gesetzliche Vorschriften (Basel und Solvency) sollen Stabilität des Banken- und Versicherungssystems angesichts verschiedener Risiken sicherstellen \\
+$\to$ mathematische Theorie der konvexen und kohärenten Risikomaße
+
+\textbf{Mathematische Werkzeuge:} Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Prozesse (Dynamik in der Zeit), zusätzlich etwas lineare Algebra, Optimierung, Maßtheorie

Math-Ba-STOCHV/STOCHV_Vorlesung/stochv_1_2_mathematischesFinanzmodell.tex

@@ -0,0 +1,110 @@
+\section{Mathematisches Finanzmodell}
+
+Wir betrachten
+\begin{enumerate}[leftmargin=*]
+	\item einen Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega, \F, \P)$, später auch weitere Maße $\Q, \dots$ auf demselben Maßraum $(\Omega, \F)$. Die $\omega \in \Omega$ werden als \begriff{Elementarereignisse} oder \begriff{''Szenarien``} bezeichnet.
+	\item Zeitachse $I$ entweder $I = \menge{t_1, t_2, \dots t_N = T}$ ($N$-Perioden-Modell; diskretes Modell) oder $I = [O,T]$ (stetiges Modell)
+	Dabei wird $T$ als \begriff{Zeithorizont} bezeichnet.
+	\begin{definition}[stochastischer Prozess]
+		Ein stochastischer Prozess $S$ ist eine messbare Abbildung 
+		\begin{equation*}
+		\bigabb{S}{(\Omega \times I)}{\Rd}{(\omega, t)}{S_t(\omega)}
+		\end{equation*}
+	\end{definition}
+	Insbesondere ist 
+	\begin{itemize}[nolistsep, topsep=-\parskip]
+		\item $t \mapsto S_t(\omega)$ eine Funktion $I \to \Rd$ für jedes $\omega \in \Omega$ 
+		\item $\omega \mapsto S_t(\omega)$ eine Zufallsvariable $\Omega \to \Rd$ für jedes $t \in I$
+	\end{itemize}
+	\item ~\vspace{-2em}
+	 \begin{definition}[Filtration]
+	 	Eine Filtration ist eine Folge von $\sigma$-Alegbren $\folge{\F_t}{t \in I}$ mit der Eigenschaft
+	 	\begin{equation*}
+	 	\F_s \subseteq \F_t \quad \forall s,t \in I, s \le t \qquad \und \qquad \F_t \subseteq \F \quad \forall t \in I
+	 	\end{equation*}
+	 \end{definition}
+ 	\begin{*interpretation}
+ 		$\F_t$ beschreibt die den Marktteilnehmern zum Zeitpunkt $t$ bekannte bzw. verfügbare Information. Ein Ereignis $A \in \F_t$ gilt als ''zum Zeipunkt $t$ bekannt``.
+ 	\end{*interpretation}
+	
+	\begin{*erinnerung_inline}
+		Eine $\Rd$-wertige Zufallsvariable $X$ heißt $\F_t$-messbar, wenn
+		\begin{equation*}
+		X^{-1}(B) \in \F_t \quad \forall \text{ Borelmengen } B \subseteq \Rd
+		\end{equation*}
+	\end{*erinnerung_inline}
+
+	\begin{beispiel}
+		Sei $S$ ein stochastischer Prozess. Dann heißt
+		\begin{equation*}
+			\F_t^S = \sigma( \menge{(S_r) : r \in I, r \le t} )
+		\end{equation*}
+		von $S$ erzeugte Filtration.
+	\end{beispiel}
+	
+	\begin{definition}[adaptierter Prozess]
+		Ein stochastischer Prozess $\folge{S_t}{t \in I}$ auf $(\Omega, \F)$ heißt \begriff{adapiert} bezüglich einer Filtration $\folge{\F_t}{t \in I}$, wenn gilt $S_t$ ist $\F_t$-messbar für alle $t \in I$.
+	\end{definition}
+	
+	Interpretation: Der Wert $S_t$ ist zum Zeitpunkt $t$ ''bekannt``.
+	
+	Warum Filtrationen in der Finanzmathematik?
+	\begin{itemize}[nolistsep, topsep=-\parskip]
+		\item Unterscheidung Zunkunft/Vergangenheit
+		\item Unterscheidung Informationen (Insider/Outsider) Unterscheidung Filtration $\folge{\F_t}{t \in I}$ bzw. $\folge{\G_t}{t \in I}$
+	\end{itemize}
+	
+	\item Anlagegüter [assets]: $\R^{d+1}$-wertiger stochastischer Prozess mit Komponenten
+	\begin{equation*}
+		\bigabb{S^i}{(\Omega \times I)}{\R}{(\omega, t)}{S_t^i(\omega)} \quad (i \in \menge{0, 1, \dots , d})
+	\end{equation*}
+	$S_t^i$ beschreibt dabei den Preis des $i$-ten Anlageguts zum Zeitpunkt $t$. $S^i$ ($i \in \menge{1, \dots , d}$) ist typischerweise
+	\begin{itemize}[nolistsep, topsep=-\parskip]
+		\item Aktien [stock], Unternehmensanteil
+		\item Währung [currency] bzw. Wechselkurs
+		\item Rohstoff [commodity] wie z.B. Öl, Edelmetall, Elektrizität
+		\item Anleihe [bond] $\dots$ Schuldverschreibung
+	\end{itemize}
+	
+	Hauptannahme: $S^i$ ist liquide gehandelt (z.B. Börse), d.h. der Kauf und Verkauf zum Preis $S_t^i$ ist jederzeit möglich. 
+	Der ''Numeraire`` $S^0$ hat eine Sonderrolle und beschreibt die Verzinsung von nicht in $(S^1, \dots , S^d)$ angelegtem Kapital. Er wird als risikolos betrachtet.
+\end{enumerate}
+
+\begin{definition}
+	Ein Finanzmarktmodell (FFM) mit Zeitachse $I$ ist gegeben durch
+	\begin{enumerate}[nolistsep, topsep=-\parskip]
+		\item einen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \F, \P)$ mit Filtration $\folge{\F_t}{t \in I}$
+		\item einem an $\folge{\F_t}{t \in I}$ adaptierten, $\R^{d+1}$-wertigen stiochastischen Prozess $S_t = (S_t^0, S_t^1 , \dots , S_t^d)$ mit $t \in I$.
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{beispiel}[Cox-Ross-Rubinstein-Modell]
+	Das CRR-Modell ist ein zeitdiskretes Modell beschrieben durch
+	\begin{itemize}[nolistsep, topsep=-\parskip]
+		\item $S_n^0 = (1+r)^n$ \dots Verzinsung mit konstanter Rate $r$
+		\item $S_n^1 = S_0^1 \prod_{k=1}^n (1+R_k)$, wobei $(R_1, R_2, \dots)$ unabhängige Zufallsvariablen mit zwei möglichen Werten $a < b$ sind
+	\end{itemize}
+
+	\begin{tabularx}{\columnwidth}{XX}
+		\includegraphics[width=.5\textwidth]{./stochv_abbildungen/stochv_1_2_crr}
+		\captionof{figure}{Cox-Ross-Rubinstein-Modell}
+		&
+		$\hookrightarrow$ rekombinierender Baum, \newline
+		Ereignisse $\omega$ entsprechen Pfaden im Baum
+	\end{tabularx}	
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}[Black-Scholes-Modell, zeitstetig]
+	Beim Black-Scholes-Modell handelt es sich um ein zeitstetiges Modell auf einem unendlichen Wahrscheinlichkeitsraum.
+	\begin{equation*}
+		\begin{aligned}
+		S_t^0 &= e^{rt} && (\text{Verzinsung mit konstanter Rate } r) \\
+		S_t^1 &= S_0^1 * \exp\brackets{(\mu-\frac{\sigma^2}{2}) + \sigma B_t} &&\mit \mu \in \R, \sigma > 0, S_0^1 > 0
+		\end{aligned}
+	\end{equation*}
+	Der Term $\mu-\frac{\sigma^2}{2}$ beschreibt dabei eine Trendkomponenten, $B_t$ eine ''Brownsche Bewegung`` (zeitstetiger Prozess).
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=.5\textwidth]{./stochv_abbildungen/stochv_1_2_bsm}
+		\captionof{figure}{Black-Scholes-Modell}
+	\end{center}
+\end{beispiel}
+

Math-Ba-STOCHV/STOCHV_Vorlesung/stochv_1_3_anleihenBeispieleDerivate.tex

@@ -0,0 +1,67 @@
+\section{Anleihen und grundlegende Beispiele für Derivate}
+
+Hier betrachten wir immer nur ein Basisgut $S_t = S_t^1$.
+
+\begin{enumerate}[leftmargin=*, label=(\alph*)]
+	\item \begriff{Anleihe} [bond] (genauer: Null-Kupon-Anleihe [zero-coupon bond])
+
+	Der Emittent (Herausgeber) einer Anleihe mit Endfälligkeit [maturity] $T$ garantiert dem Käufer zum Zeitpunkt $T$ den Betrag $N$ (EUR/USD/...) zu zahlen.
+	Typische Emittenten sind z.B. Staaten [government bond] oder Unternehmen (als Alternative zur Kreditaufnahme).
+	Nach Emission werden Anleihen auf dem Sekundärmarkt weiterverkauft, d.h. liquide gehandelte Wertpapiere. 
+
+	\begin{tabular}{ll}
+		Preis bei Emission: & $B(0,T)$ \\
+		Preis bei Weiterverkauf zum Zeitpunkt $t \le T$: & $B(t,T)$ \\
+	\end{tabular}
+
+	Es ist $B(T,T) = N$ und wir normieren stets $N=1 \follows B(T,T)=1$.
+
+	Anleihen von West-/ Nord-/ Mitteleuropäischen Staaten und den USA sowie Kanada werden als risikolos betrachtet (sichere Zahlung). Sonst: Kreditrisiko
+
+	Risikofreie Anleihen können als Numeraire $S_t^0 = B(t,T)$ genutzt werden.
+
+	\begin{center}
+		%TODO BILD (1)
+		\includegraphics[width=.5\textwidth]{example-image}
+		\captionof{figure}{Zahlungsstrom einer Anleihe}
+	\end{center}
+
+	\item \begriff{Terminvertrag} [forward contract]
+
+	aus Käufersicht: Vereinbarung zu bestimmtem zukünftigen Zeitpunkt $T$ eine Einheit des Basisguts $S$ zum Preis $K$ zu kaufen (Kaufverpflichtung). Beliebt ist dieser bei Rohstoffen und Elektrizität.
+
+	Auszahlungsprofil: $F_T = S_T - K$
+	Preis zum Zeitpunkt $t$: $F_t$
+
+	\begin{center}
+		%TODO BILD (2)
+		\includegraphics[width=.5\textwidth]{example-image}
+		\captionof{figure}{Auszahlungsprofil eines Terminvertrags}
+	\end{center}
+
+
+	\item \begriff{(Europäische) Put- bzw. Call-Option}
+
+	Recht zu einem zukünftigen Zeitpunkt $T$ eine Einheit des Basisguts $S$ zum Preis $K$ zu verkaufen (put) bzw. zu kaufen (call)
+	$\to$ keine Kaufverpflichtung !
+	% Vergleich zum Terminvertrag: keine Pflicht
+
+	Auszahlungsprofil:
+	\begin{itemize}
+		\item Call: $C_T = \begin{cases} S_T - K & S_T \ge K \\ 0 & S_T < K \end{cases} = \brackets{S_T - K}_+$
+		%TODO Bild (3)
+		\item Put: $P_T = \begin{cases} 0 & S_T \ge K \\ K - S_T & S_T < K \end{cases} = \brackets{K - S_T}_+$ 
+		%TODO Bild (4)
+	\end{itemize}
+
+	\item \begriff{Amerikanische Put- bzw. Call-Option}
+
+	wie Put/Call, aber mit Ausübung zu beliebigem Zeitpunkt $\tau \in [0,T]$.
+
+	\begin{tabular}{ll}
+		Preis zum Zeitpunkt $t$: & $P_t^{AM}$, $C_t^{AM}$ \\
+		Auszahlungsprofil zum Zeitpunkt $\tau$: & $\brackets{S_\tau - K}_+$, $\brackets{K - S_\tau}_+$
+	\end{tabular}
+
+	Der Zeitpunkt $\tau$ muss im Allgemeinen als Lösung eines stochastischen Optimierungsproblems bestimmt werden (optimales Stopp-Problem).
+\end{enumerate}

Math-Ba-STOCHV/STOCHV_Vorlesung/stochv_1_4_replikationsArbitrage.tex

@@ -0,0 +1,84 @@
+\section{Elementare Replikations- und Ar"-bitrage"-argumente}
+
+Was können wir (mit elementaren Mitteln) über die ''fairen`` Preise $B(t,T), F_t, C_t, P_t$ aussagen?
+
+Wir verwenden:
+
+\begin{itemize}[topsep=-\parskip]
+	\item \begriff{Replikationsprinzip}: zwei identische, zukünftige Zahlungsströme haben auch heute denselben Wert (ein Zahlungsstrom ''repliziert`` den anderen)
+	\item \begriff{No-Arbitrage-Prinzip}: ''Ohne Kapitaleinsatz kann kein sicherer Gewinn ohne Verlustrisiko erzielt werden.`` (Arbitrage = risikofreier Gewinn)
+	\item \begriff{Superreplikationsprinzip} (schwächere Form des Replikationsprinzips): Ist ein Zahlungsstrom in jedem Fall größer als ein anderer, so hat er auch heute den größeren Wert.
+\end{itemize}
+
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{|c|c|c|}
+		\hline
+		stark & Replikationsprinzip & eingeschränkt anwendbar \\
+		$\downarrow$ & Superreplikationsprinzip & $\uparrow$ \\
+		schwach & No-Arbitrage-Prinzip & immer anwendbar \\
+		\hline
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+\begin{lemma} % 1.1
+	Für den Preis $C_T$ des europäischen Calls gilt:
+	\begin{equation*}
+		\brackets{S_t - K B(t,T)}_+ \le C_t \le S_t
+	\end{equation*}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	untere Schranke: Für Widerspruch nehme an, dass $S_t - K B(t,T) - C_t = \epsilon > 0$.
+	
+	\begin{center}
+		\begin{tabular}{|l|c|cc|} % Wert in T über rechte beide Spalten
+			\hline \multirow{2}{*}{Portfolio} & \multirow{2}{*}{Wert in $t$} & \multicolumn{2}{c|}{Wert in $T$} \\
+			&& $S_T \le K$ & $S_T > K$ \\ \hline \hline
+			Kaufe Call & $C_t$ & $0$ & $S_T - K$ \\
+			Verkaufe Basisgut & $-S_T$ & $-S_T$ & $-S_T$ \\
+			Kaufe Anleihe & $\epsilon + K B(t,T)$ & $\frac{\epsilon}{B(t,T)} + K$ &  $\frac{\epsilon}{B(t,T)} + K$ \\ \hline
+			$\Sigma$ & $0$ & $K - S_T + \frac{\epsilon}{B(t,T)} > 0$ & $\frac{\epsilon}{B(t,T)} > 0$ \\
+			& kein Anfangskapital & \multicolumn{2}{c|}{sicherer Gewinn}\\ \hline
+		\end{tabular}
+	\end{center}
+
+	Dies steht jedoch im Widerspruch zum No-Arbitrage-Prinzip. Somit ist $S_t - K B(t,T) \le C_T$. Außerdem ist $C_t \ge 0$, d.h. $C_t \ge \brackets{S_t - K B(t,T)}_+$.
+	
+	obere Schranke: $\nearrow$ Übung
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}[Put-Call-Parität] % 1.2
+	Für Put $P_t$, Call $C_t$ mit selbem Ausübungspreis $K$ und Basisgut $S_t$ gilt
+	\begin{equation*}
+		C_t - P_t = S_t - B(t,T) * K
+	\end{equation*}
+	%TODO Bild (5)
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Mit Replikationsprinzip:
+	
+	\begin{center}
+		\begin{tabular}{|l|c|cc|}
+			\hline 
+			\multirow{2}{*}{Portfolio 1} & \multirow{2}{*}{Wert in $t$} & \multicolumn{2}{c|}{Wert in $T$} \\
+			&& $S_T \le K$ & $S_T > K$ \\ \hline \hline
+			Kaufe Call & $C_t$ & $0$ & $S_T - K$ \\
+			Kaufe Anleihe & $K * B(t,T)$ & $K$ & $K$ \\ \hline
+			Wert Portfolio 1 & $C_t + K * B(t,T)$ & K & $S_T$ \\ 
+			\hline
+		\end{tabular}
+	\end{center}
+
+	\begin{center}
+		\begin{tabular}{|l|c|cc|}
+			\hline 
+			\multirow{2}{*}{Portfolio 2} & \multirow{2}{*}{Wert in $t$} & \multicolumn{2}{c|}{Wert in $T$} \\
+			&& $S_T \le K$ & $S_T > K$ \\ \hline \hline
+			Kaufe Put & $P_t$ & $K - S_T$ & $0$ \\
+			Kaufe Basisgut & $S_t$ & $S_T$ & $S_T$ \\ \hline
+			Wert Portfolio 2 & $P_t + S_t$ & $K$ & $S_T$ \\ 
+			\hline
+		\end{tabular}
+	\end{center}
+
+	Replikationsprinzip: $C_t + K * B(t,T) = P_t + S_t \follows C_t + P_t = S_t - K*B(t,T)$
+\end{proof}

Math-Ba-STOCHV/STOCHV_Vorlesung/stochv_abbildungen/data.dat

@@ -0,0 +1,50 @@
+Date,    Ford,   GM,     Uber
+2010 Q4 3, 60000, 50000, 1
+2010 Q4 4, 70000, 57000, 1
+2010 Q4 5, 60000, 55000, 1
+2011 Q2 1, 55000, 47000, 1
+2011 Q2 2, 56000, 45000, 1
+2011 Q2 3, 58000, 45500, 1
+2011 Q2 4, 56000, 44500, 1
+2011 Q2 5, 52000, 44000, 1
+2011 Q4 1, 39000, 38000, 1
+2011 Q4 2, 43000, 42000, 1
+2011 Q4 3, 41000, 40000, 1
+2011 Q4 4, 41000, 39000, 1
+2011 Q4 5, 47000, 44000, 1
+2012 Q2 1, 48000, 45000, 1
+2012 Q2 2, 47000, 44000, 1
+2012 Q2 3, 47000, 45000, 500
+2012 Q2 4, 40000, 38000, 501
+2012 Q2 5, 39000, 35000, 502
+2012 Q4 1, 37000, 33000, 503
+2012 Q4 2, 36000, 30000, 504
+2012 Q4 3, 38000, 32000, 505
+2012 Q4 4, 40000, 33000, 506
+2012 Q4 5, 44000, 34000, 507
+2013 Q2 1, 48000, 39000, 508
+2013 Q2 2, 53000, 44000, 509
+2013 Q2 3, 51000, 41000, 510
+2013 Q2 4, 53000, 44000, 511
+2013 Q2 5, 67000, 55000, 512
+2013 Q4 1, 65000, 52000, 513
+2013 Q4 2, 69000, 57000, 514
+2013 Q4 3, 68000, 56000, 515
+2013 Q4 4, 65000, 51000, 3000
+2013 Q4 5, 62000, 48000, 3000
+2014 Q2 1, 60000, 50000, 3000
+2014 Q2 2, 55000, 44000, 18000
+2014 Q2 3, 60000, 50000, 18000
+2014 Q2 4, 58000, 48000, 18000
+2014 Q2 5, 56000, 47000, 18000
+2014 Q4 1, 55000, 50000, 18000
+2014 Q4 2, 65000, 60000, 18000
+2014 Q4 3, 64000, 58000, 41000
+2014 Q4 4, 62000, 55000, 41500
+2014 Q4 5, 60000, 58000, 42000
+2015 Q2 1, 58000, 56000, 42000
+2015 Q2 2, 52000, 48000, 42500
+2015 Q2 3, 59000, 48000, 52500
+2015 Q2 4, 58000, 45000, 52500
+2015 Q2 5, 57000, 55000, 52500
+2015 Q4 1, 56000, 57000, 62500