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Aufgabe.tex/Getting started.tex

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+\documentclass[12pt]{article}
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+\title{Mail Aufgabe}
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+\date{\today}
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+\begin{document}
+\maketitle
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+Die Funktion `getNeighbours()` möglichst effizient arbeitet und insbesondere keinen Speicher alloziert, d.h. sie sollte vielleicht keinen `std::vector<>` zurückgeben. Ihr könntet etwa ein `std::array<IndexType, MaxPossibleNeighbours>` zusammen mit einer Zahl `numActualNeighbours <= MaxPossibleNeighbours` zurückgeben.
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+Oder ihr verwendet ein Interface wie bei den STL-Algorithmen, d.h. man übergibt beim Aufruf einen Output-Iterator, der auf einen Container mit Platz für `MaxPossibleNeighbours` Einträge verweist, und die Funktion gibt den End-Iterator der geschriebenen Sequenz zurück. Es sind sicher auch andere Designs denkbar, die ohne Allokationen auskommen.
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+Stencil-Operation abbildet: Nehmen wir an, ihr habt einen Vektor $x$ mit $N$ Einträgen, der die Einträge eines $d$-dimensionalen Meshes repräsentiert. Durch eure Schemaklasse kann man jetzt zu jedem Index $i \lt N$ eine Menge der Nachbarindices $\{ n^i_1, \ldots, n^i_{M_i} \}$ erhalten. Einen *averaging stencil* könnte man dann so definieren:
+$$y_i = C_i \left(x_i + \sum_{k = 1}^{M_i} x_{n^i_k} \right)$$
+wobei ich die Gewichtung $C_i := \frac{1}{M_i + 1}$ definiert habe.
+Eine Matrixmultiplikation sieht so aus:
+$$y_i = \sum_{j = 1}^N A_{ij} x_j$$
+Zunächst setzen wir nun alle $A_{ij}$ auf 0 (entspricht einer *sparse matrix* mit keinen Einträgen). Für alle Indices $i$ setzen wir dann $A_{ii} = C_i$ und $A_{ij} = C_i$ für alle Nachbarindices $j \in \{ n^i_1, \ldots, n^i_{M_i} \}$. Das ergibt eine dünnbesetzte Matrix $A_{ij}$, und die obige Matrixmultiplikation ist dann dasselbe wie die Stencil-Auswertung. Ihr könnt also mithilfe eurer Schema-Klasse eine SparseMatrix-Instanz aus Eigen mit Koeffizienten befüllen und dann die Laufzeit für die Multiplikation benchmarken.
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+Ein Teil eurer Aufgabe sollte außerdem ein Nachweis sein, daß eure Nachbarbestimmungsmethode funktioniert. Z.B. könntet ihr probehalber einen Vektor mit den Indexwerten initialisieren, $x_i = i$, dann einen Stencil anwenden, der den Wert des linken Nachbarn nimmt, und auf dem Ergebnis wieder einen Stencil, der den Wert des rechten Nachbarn nimmt. Dann sollte wieder $x_i = i$ sein, jedenfalls wenn ihr periodische Randbedingungen habt (d.h. der Nachbar eines Punkts am linken Rand ist ein Punkt am rechten Rand).
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+Noch eine Anmerkung: ich meine mich zu erinnern, daß ihr in eurer Schema-Klasse, die für die Nachbarindexberechnung zuständig ist, auch die Daten selbst speichert (in einem std::vector<> vermutlich). Macht das nicht. Die Indexberechnung und die Datenunterbringung sind getrennte Probleme, und ich möchte eure Klasse vielleicht nicht mit einem std::vector<> verwenden, sondern mit der Vektorklasse aus Eigen, und vielleicht kann/muß ich die gar nicht selber verwalten, sondern ich arbeite nur auf den Daten, die jemand anderes verwaltet.
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+\end{document}