Aggiunto pdf di ETI, Modificata parte di Topologia

ETI/FattiDiETI.tex

@@ -82,7 +82,7 @@
 		\item BF equivale all'affermazione che $\forall X \quad \exists \alpha \quad x \in V_\alpha$, ovvero che $V = \cup_{\alpha \in \ON} V_\alpha$ ($V$ è l'universo degli insiemi)
 		\item $x \subseteq y \in V_\alpha \implies x \in V_\alpha$
 		\item (Assumendo BF) Una classe $X \subseteq V$ è un insieme $\sse \exists \alpha \in \ON \tc X \in V_\alpha$
-		\item $\forall \alpha$ si ha $\card{V_{\omega + \alpha}} = \beth_\alpha \ge \alph_\alpha$
+		\item $\forall \alpha$ si ha $\card{V_{\omega + \alpha}} = \beth_\alpha \ge \aleph_\alpha$
 	\end{itemize}
 
 	\section*{Cofinalità}
@@ -102,14 +102,23 @@
 	\section*{Aritmetica Cardinale}
 	Nel seguito diamo qualche risultato sull'esponenziazione di cardinali
 	\begin{itemize}
-		\item $2 \le \kappa \le \lambda$ e $\lamda$ infinito $\implies \kappa^\lambda = 2^\lambda$
+		\item $2 \le \kappa \le \lambda$ e $\lambda$ infinito $\implies \kappa^\lambda = 2^\lambda$
 		\item Inoltre si ha $2^\lambda \ge \kappa \implies \kappa^\lambda = 2^\lambda$
 		\item $\lambda \ge \cof{\kappa} \implies \kappa < \kappa^\lambda$
 		\item Definiamo ora detto $\lambda$ cardinale e $\card{A} \ge \lambda$ l'insieme $[A]^\lambda = \{ X \subseteq A : \card{X} = \lambda \}$.
 		\item $\card{A} = \kappa \ge \lambda$ implica che $[A]^\lambda$ ha cardinalità $\kappa^\lambda$
 		\item $\lambda$ cardinale infinito e $\kappa_i > 0 \quad \forall i < \lambda$, allora $$ \sum_{i < \lambda} \kappa_i = \lambda \cdot \sup_{i < \lambda} \kappa_i $$ 
 	\end{itemize}
 
+	\section*{Calcoli pronti}
+	Diamo ora delle regole di calcolo per fare conti con prodotti di cose in forma normale di Cantor
+	\begin{itemize}
+		\item Se $\alpha > \beta$ si ha $\omega^\beta b + \omega^\alpha a = \omega^\alpha a$
+		\item Se $0 < \alpha = \omega^{\alpha_1} c_1 + \ldots + \omega^{\alpha_k} c_k$ in CNF e $0 < \beta$ allora si ha
+			$$ \alpha \omega^\beta = \omega^{\alpha_1 + \beta} $$ ed anche, per ogni $n \in \bbN$, $n \neq 0$
+			$$ \alpha n = \omega^{\alpha_1} c_1 n + \omega^{\alpha_2} c_2 + \ldots + \omega^{\alpha_k} c_k $$
+	\end{itemize}
+
 	\section*{Assiomi Utilizzati}
 	Viene di seguito riportata una tabella con i principali teoremi di Insiemi, e gli assiomi necessari per dimostrarli.
 

ETI/Makefile

@@ -0,0 +1,16 @@
+# Makefile per la compilazione del progetto LaTeX
+# Creato lun 20 giu 2016, 23.38.00, CEST
+
+.PHONY: alldocuments FattiDiETI 
+
+alldocuments: 
+	wget https://github.com/trenta3/stdmdoc/raw/master/stdmdoc.cls -O stdmdoc.cls
+	pdflatex --shell-escape FattiDiETI.tex
+	rm -f *.aux *.log *.out
+
+FattiDiETI:
+	wget https://github.com/trenta3/stdmdoc/raw/master/stdmdoc.cls -O stdmdoc.cls
+	pdflatex --shell-escape FattiDiETI.tex
+	rm -f *.aux *.log *.out
+
+# Fine del Makefile

ETI/stdmdoc.cls

@@ -0,0 +1,264 @@
+\LoadClass{article}
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesClass{stdmdoc}[2015/05/09 Il vaffanculo ed il budello di tu ma]
+\RequirePackage{titlesec} % Per modificare i titoli delle sezioni
+\RequirePackage{fancyhdr} % Per modificare l'intestazione ed il piè di pagina
+\RequirePackage{bm}
+\RequirePackage{bbm}
+%\RequirePackage{mbboard}
+\RequirePackage[utf8]{inputenc}
+\RequirePackage[italian]{babel}
+\RequirePackage{amsmath}
+\RequirePackage{amssymb}
+\RequirePackage{amsthm} % Per definire \newtheorem
+
+\RequirePackage{xifthen}
+\RequirePackage{xparse}
+\RequirePackage{etoolbox}% http://ctan.org/pkg/etoolbox
+\RequirePackage[linktoc=all]{hyperref} % Per i collegamenti ipertestuali. [linktoc=all] mette i link nell'indice
+\RequirePackage{color} % Per i comandi \textcolor{'colore'}{'testo da colorare'} e \color{'colore'}
+\RequirePackage{hhline} % Per fare tabelle variegate
+
+
+% https://it.sharelatex.com/blog/2011/03/27/how-to-write-a-latex-class-file-and-design-your-own-cv.html
+
+% Definizioni dei margini del foglio
+\DeclareOption{a4paper}
+	{\setlength\paperheight {297mm}
+	\setlength\paperwidth {210mm}}
+\DeclareOption{WithNotes}
+	{\setlength\textheight{680pt} %Altezza del corpo
+	\setlength\textwidth{360pt} %Larghezza del corpo
+	\setlength\marginparsep{12pt} %Distanza corpo - note a margine
+	\setlength\marginparwidth{110pt} %Larghezza note a margine
+	}
+\DeclareOption{NoNotes}
+	{\setlength\textheight{680pt}
+	\setlength\textwidth{470pt}
+	\setlength\marginparsep{0pt}
+	\setlength\marginparwidth{0pt}
+	}
+
+
+\setlength\hoffset{-20pt} %Margine sinistro quasi nullo (1in)
+\setlength\voffset{-30pt} %Margine superiore quasi nullo (1in)
+\setlength\oddsidemargin{10pt} %Distanza del testo dal margine sinistro
+\setlength\topmargin{5pt} %Distanza intestazione da margine superiore
+\setlength\headheight{5pt} %Altezza intestazione
+\setlength\headsep{5pt} %Distanza Intestazione - Corpo
+\setlength\footskip{20pt} %Distanza corpo - piè di pagina
+
+% Imposta i titoli in stampatello e con la linea sotto
+\titleformat{\section}
+	{\Large\scshape\raggedright}
+	{}{1em}		%Può essere usato per dare un prefisso a tutte le sezioni
+	{}		%Può essere usato per inserire codice prima del titolo
+	[\titlerule{\vskip 0.5ex}]	%Mette la linea orizzontale dopo il titolo
+
+\titleformat{\subsection}
+	{\large\scshape}
+	{}{0em}
+	{}
+
+\renewcommand{\title}[1]{
+	\centerline{\Huge\scshape\raggedright{#1}}{\vskip 5ex}
+	}
+\renewcommand{\author}[1]{
+	\centerline{\LARGE\scshape\raggedright{#1}}{\vskip 1ex}
+	}
+
+\newcommand{\autodate}{
+	\hfill\large{\today}{\vskip 1ex}
+	}
+
+% Definiamo i font da utilizzare per le varie sezioni
+\renewcommand*{\familydefault}{\rmdefault}
+\renewcommand*{\rmdefault}{ppl}
+\renewcommand*{\sfdefault}{cmss}
+\renewcommand*{\ttdefault}{lmtt}
+
+% Oggetti utili per dare spaziatura al corpo del testo e per aggiungere note a margine
+\newcommand{\Nextblock}{{\vskip 1.5ex}\noindent}
+\newcommand{\paragrafo}[1]{{\vskip 3ex}{\normalfont\large\bf\noindent{#1}}{\hskip 3ex}}
+\newcommand{\Nota}[1]{\marginpar{\footnotesize{\vskip 4ex}#1}}
+
+% Parole più usate in matematica
+\newtheorem{mydef}{Definizione}[section]
+\newtheorem{mythm}{Teorema}[section]
+\newtheorem{myex}{Esercizio}[section]
+\newtheorem{myes}{Esempio}[section]
+\newtheorem{mylemma}{Lemma}[section]
+\newtheorem{myprop}{Proposizione}[section]
+\newtheorem{mycor}{Corollario}[section]
+\newtheorem{myobs}{Osservazione}[section]
+
+\newtheorem*{mydef*}{Definizione}
+\newtheorem*{mythm*}{Teorema}
+\newtheorem*{myex*}{Esercizio}
+\newtheorem*{myes*}{Esempio}
+\newtheorem*{mylemma*}{Lemma}
+\newtheorem*{myprop*}{Proposizione}
+\newtheorem*{mycor*}{Corollario}
+\newtheorem*{myobs*}{Osservazione}
+
+\NewDocumentCommand{\Teorema}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\paragrafo{Teorema}}
+	{\paragrafo{Teorema {\it (#1)}}}}
+
+\NewDocumentCommand{\Definizione}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\paragrafo{Definizione}}
+	{\paragrafo{Definizione {\it (#1)}}}}
+
+\NewDocumentCommand{\Lemma}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\paragrafo{Lemma}}
+	{\paragrafo{Lemma {\it (#1)}}}}
+
+\NewDocumentCommand{\Corollario}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\paragrafo{Corollario}}
+	{\paragrafo{Corollario {\it (#1)}}}}
+
+\NewDocumentCommand{\Dimostrazione}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\paragrafo{Dimostrazione}}
+	{\paragrafo{Dimostrazione {\it (#1)}}}}
+
+\NewDocumentCommand{\Osservazione}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\paragrafo{Osservazione}}
+	{\paragrafo{Osservazione {\it (#1)}}}}
+
+\NewDocumentCommand{\Proposizione}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\paragrafo{Proposizione}}
+	{\paragrafo{Proposizione {\it (#1)}}}}
+
+\NewDocumentCommand{\Esempio}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\paragrafo{Esempio}}
+	{\paragrafo{Esempio {\it (#1)}}}}
+
+\NewDocumentCommand{\Achtung}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\paragrafo{Achtung!}}
+	{\paragrafo{Achtung! {\it (#1)}}}}
+
+\newcommand{\Passo}[1]{\paragrafo{Passo {#1}}}
+\newcommand{\Freccia}[1]{\paragrafo{Freccia {#1}}}
+
+\NewDocumentCommand{\Altro}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\paragrafo{}}
+	{\paragrafo{#1}}}
+
+\newcommand{\frdx}{ \framebox[\width]{ $\Rightarrow$ } }
+\newcommand{\frsx}{ \framebox[\width]{ $\Leftarrow$ } }
+\newcommand{\opp}{\text{ oppure }}
+\def\checkmark{\tikz\fill[scale=0.4](0,.35) -- (.25,0) -- (1,.7) -- (.25,.15) -- cycle;} 
+\newcommand{\crossmark}{$\times$}
+
+
+%mathbb mathcal mathfrak e mathbm per le lettere dell'alfabeto e anche mathbb per quelle greche
+\def\mydeflett#1{\expandafter\def\csname bb#1\endcsname{\mathbb{#1}}
+		\expandafter\def\csname c#1\endcsname{\mathcal{#1}}
+		\expandafter\def\csname k#1\endcsname{\mathfrak{#1}}
+		\expandafter\def\csname bl#1\endcsname{\mathbf{#1}}}
+\def\mydefalllett#1{\ifx#1\mydefalllett\else\mydeflett#1\expandafter\mydefalllett\fi}
+\mydefalllett ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ\mydefalllett
+
+\def\mydeffrakmath#1{\expandafter\def\csname k#1\endcsname{\mathfrak{#1}}}
+\def\mydefallfrak#1{\ifx#1\mydefallfrak\else\mydeffrakmath#1\expandafter\mydefallfrak\fi}
+\mydefallfrak abcdefghijklmnopqrstuvwxyz\mydefallfrak
+
+\def\mydefgreek#1{\expandafter\def\csname bl#1\endcsname{\text{\boldmath$\mathbf{\csname #1\endcsname}$}}}
+\def\mydefallgreek#1{\ifx\mydefallgreek#1\else\mydefgreek{#1}%
+   \lowercase{\mydefgreek{#1}}\expandafter\mydefallgreek\fi}
+\mydefallgreek {Gamma}{Delta}{Theta}{Lambda}{Xi}{Pi}{Sigma}{Upsilon}{Phi}{Varphi}{Psi}{Omega}{alpha}{beta}{gamma}{delta}{epsilon}{varepsilon}{zeta}{eta}{theta}{iota}{kappa}{lambda}{mu}{nu}{xi}{omicron}{pi}{rho}{sigma}{tau}{upsilon}{phi}{varphi}{chi}{psi}{omega}\mydefallgreek
+
+\NewDocumentCommand{\FF}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\mathbb{F}}
+	{\mathbb{F}_{#1}}}
+
+\NewDocumentCommand{\ZZ}{g}{
+  \IfNoValueTF{#1}
+	{\mathbb{Z}}
+	{\mathbb{Z}_{#1}}}
+
+\NewDocumentCommand{\de}{gg}{
+	\IfNoValueTF{#1}
+		{\text{ d}}
+		{\IfNoValueTF{#2}	{\text{ d}#1}
+			{\frac{\text{d}#1}{\text{d}#2}}
+	}
+}
+
+\NewDocumentCommand{\dpar}{gg}{
+	\IfNoValueTF{#1}
+		{\partial}
+		{\IfNoValueTF{#2}	{\partial_{#1}}
+			{\frac{\partial {#1}}{\partial {#2}}}
+	}
+}
+
+
+%nuovi comandi per svariate cose
+\DeclareOption{GeneralMath}
+{
+	\newcommand{\sse}{\Leftrightarrow}
+	\newcommand{\Rar}{\Rightarrow}
+	\newcommand{\rar}{\rightarrow}
+	\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}
+	\newcommand{\ot}[1]{\widetilde{#1}}
+	\newcommand{\oc}[1]{\widehat{#1}}
+	\newcommand{\tc}{\mbox{ t.c. }}
+
+	\newcommand{\norma}[1]{\mid\mid #1 \mid\mid}
+	\newcommand{\abs}[1]{\mid #1 \mid}
+	\newcommand{\scal}[2]{\langle #1 \mid #2 \rangle}
+	\newcommand{\floor}[1]{\lfloor #1 \rfloor}
+
+	\newcommand{\Ker}{\mbox{Ker } }
+	\newcommand{\Deg}{\mbox{deg }}
+	\newcommand{\Det}{\mbox{det }}
+	\newcommand{\Dim}{\mbox{dim }}
+	\newcommand{\End}{\mbox{End }}
+	\newcommand{\Rad}{\mbox{Rad }}
+	\newcommand{\Ann}{\mbox{Ann }}
+	\newcommand{\Sp}{\mbox{Sp }}
+	\newcommand{\Rk}{\mbox{rk }}
+	\newcommand{\Tr}{\mbox{tr }}
+	\newcommand{\GL}{\mbox{GL}}
+	\newcommand{\Isom}{\mbox{Isom}}
+	\newcommand{\Fix}{\mbox{Fix }}
+	\newcommand{\Giac}{\mbox{Giac }}
+	\newcommand{\Ort}{\mbox{O}}
+	\newcommand{\Aff}{\mbox{Aff }}
+	\newcommand{\Supp}{\mbox{Supp }}
+	\newcommand{\Span}{\mbox{Span }}
+	\newcommand{\Symm}{\mbox{Sym }}
+	\newcommand{\Asymm}{\mbox{Asym }}
+	\newcommand{\Img}{\mbox{Im }}
+	\newcommand{\Id}{\mbox{id}}
+	\newcommand{\PS}{\mbox{PS }}
+	\newcommand{\Mtr}{\mathfrak{m}}
+	\newcommand{\fucknullset}{\{0\}}
+
+	\makeatletter
+	% Permette di fare sistemi di equazioni
+		\newcommand{\hsystem}[1][]{$\left. \begin{array}{c} \gobblenext }%
+		\newcommand{\system}[1][]{$\left\{ \begin{array}{c}  \gobblenext }
+		\newcommand{\gobblenext}[1]{#1\@ifnextchar\bgroup{\\ \gobblenext}{ \end{array} \right.$ }}% Gobble next "argument"
+	\makeatother
+}
+
+\ProcessOptions
+%---Comandi Strani---
+\newcommand{\TODO}{{\LARGE\bf TO DO}}
+
+
+\sloppy
+

Topologia/TopologiaGenerale.tex

@@ -81,7 +81,7 @@
 
 	\section*{Equivalenze}
 	\begin{itemize}
-		\item ({\bf Condizione equivalente per essere una base}) Dato $X$ insieme e $\cB \subseteq \cP (X)$ esiste una topologia su $X$ di cui $\cB$ è una base se e soltanto se sono soddisfatte le seguenti due condizioni: $X = \cap \{B \mid B \in \cB \}$ e per ogni coppia $A,B \in \cB$ e per ogni punto $x \in A \cap B$ esiste $C \in \cB$ tale che $x \in C \subseteq A \cap B$.
+		\item ({\bf Condizione equivalente per essere una base}) Dato $X$ insieme e $\cB \subseteq \cP (X)$ esiste una topologia su $X$ di cui $\cB$ è una base se e soltanto se sono soddisfatte le seguenti due condizioni: $X = \cup \{B \mid B \in \cB \}$ e per ogni coppia $A,B \in \cB$ e per ogni punto $x \in A \cap B$ esiste $C \in \cB$ tale che $x \in C \subseteq A \cap B$.
 		\item ({\bf Condizioni equivalenti alla continuità}) $f$ è continua $\sse$ controimmagine di aperti è aperta $\sse$ $\forall A \subseteq X \quad f(\bar{A}) \subseteq \bar{f(A)}$ $\sse$ $\forall x \in X \quad \forall U \tc f(x) \in U \quad \exists V \tc x \in V \quad f(V) \subseteq U$.
 		\item ({\bf Condizioni equivalenti ad essere un omeomorfismo}) $f: X \rar Y$ continua. Allora $f$ è un omeomorfismo $\sse$ $f$ è chiusa e biggettiva $\sse$ $f$ è aperta e biggettiva.
 		\item ({\bf Condizioni che implicano essere immersione}) Sia $f: X \rar Y$ continua. Allora se $f$ è chiusa ed iniettiva, essa è un'immersione chiusa. Se invece $f$ è aperta ed iniettiva, allora è un'immersione aperta.

Topologia/stdmdoc.cls

@@ -169,6 +169,10 @@
 \def\mydefalllett#1{\ifx#1\mydefalllett\else\mydeflett#1\expandafter\mydefalllett\fi}
 \mydefalllett ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ\mydefalllett
 
+\def\mydeffrakmath#1{\expandafter\def\csname k#1\endcsname{\mathfrak{#1}}}
+\def\mydefallfrak#1{\ifx#1\mydefallfrak\else\mydeffrakmath#1\expandafter\mydefallfrak\fi}
+\mydefallfrak abcdefghijklmnopqrstuvwxyz\mydefallfrak
+
 \def\mydefgreek#1{\expandafter\def\csname bl#1\endcsname{\text{\boldmath$\mathbf{\csname #1\endcsname}$}}}
 \def\mydefallgreek#1{\ifx\mydefallgreek#1\else\mydefgreek{#1}%
    \lowercase{\mydefgreek{#1}}\expandafter\mydefallgreek\fi}