secção mínimos quadrados teoria

docs/Constantes/constantes da natureza.md → docs/constantes da natureza.md

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 Muitas constantes da natureza são usadas para cálculos físicos, Alguns exemplos são \(\pi\), \(c\) e \(G\). A biblioteca possui um submódulo chamado **constantes** que armazena esses valores segundo a [CODATA2022](https://arxiv.org/abs/2409.03787). É altamente recomendado que você utilize um editor de texto com **autocompletar** para rapidamente encontrar a constante desejada.
 
-<img src=autocomplete.png alt='Exemplo com autocomplete' width=500>
+<img src=images/autocomplete.png alt='Exemplo com autocomplete' width=500>
 
 ## Exatas
 Como os nomes das constantes são geralmente verbosos, é interessante salvar a constante com uma variável de nome reduzido no seu código. O código abaixo calcula o tempo que um fóton leva para sair do Sol e chegar até a Terra, usando a velocidade da luz e o semi-eixo maior médio da órbita da Terra:

docs/regressoes_menu.md

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+Eu particularmente sempre achei que o método dos mínimos quadrados era dado de maneira muito rápida na graduação,
+não mostrando como que o método é uma aplicação direta de cálculo I e algebra linear, eu espero nessa secção mostrar
+um pouco disso aos leitores.
+
+Para não misturar o uso da biblioteca com a teoria por trás, estou aqui dividindo explicitamente essa
+secção em duas
+
+#[Teoria dos mínimos quadrados](regressoes_teoria.md)
+#[Uso na biblioteca](#lei-de-potência)
+

docs/regressoes_teoria.md

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+# Regressão Linear
+
+Quando temos uma equação física que prevê a relação entre duas ou mais variáveis, geralmente tentamos encontrar a  curva teórica prevista pela equação que mais se encaixe com os dados experimentais. Um exemplo é a lei de Hooke:
+
+$$\vec{F}=-k\vec{x}$$
+
+Para certos regimes de deslocamento, a força aplicada a uma mola é linear com a sua distensão. Vamos imaginar que um experimento foi realizado e chegamos a este conjunto de forças e deslocamentos.
+
+```py
+--8<-- "tests/test_doc_lei_de_hook.py:3:6"
+```
+
+Qual é a constante elástica \(k\) da mola?
+
+Na prática, a relação não é totalmente linear entre os dados, então precisamos criar algum tipo de critério para determinar qual reta é "melhor" do que outra. Um critério muito utilizado é a minimização dos quadrados dos desvios[^1], chamemos de \(S\):
+
+$$S=\sum (y_{real}-y_{teórico})^2 = \sum (y_{real}-ax-b)^2$$
+
+Para encontrar esse mínimo, podemos pensar no desvio como sendo uma função da nossa curva teórica \(S(a,b)\). Existe um conjunto de coeficientes angular e linear que minimiza essa função. Nesse ponto, temos[^2]:
+
+$$\frac{\partial S}{\partial a} = \frac{\partial S}{\partial b} = 0$$
+
+Comecemos com a equação do coeficiente linear:
+
+$$\frac{\partial}{\partial b} \left(\sum (y_{real}-ax-b)^2\right) = -2\sum (y_{real}-ax-b) = 0 \rightarrow a\overline{x} + b = \sum y_{real}$$
+
+Podemos fazer um raciocínio análogo para o coeficiente angular:
+
+$$\frac{\partial}{\partial a} \left(\sum (y_{real}-ax-b)^2\right) = -2\sum (y_{real}-ax-b)x = 0$$
+
+Que pode ser rearranjado como:
+
+$$a\sum x^2 + b\sum x = \sum xy_{real}$$
+
+Perceba que temos um **sistema linear em \(a\) e \(b\)**:
+
+$$a\sum x^2 + b\sum x = \sum xy_{real}$$
+$$a\overline{x} + b = \sum y_{real}$$
+
+Como \(x\) e \(y\) são conhecidos, podemos inverter a matriz desse sistema linear e achar \(a\) e \(b\). Esta é uma demonstração das fórmulas do livro.
+
+# Regressão Polinomial
+
+O método descrito acima de tomar derivadas da função e chegar a um sistema de \(N\) variáveis se estende para polinômios de grau arbitrário. **Mas como um sistema linear pode achar coeficientes de uma parábola?**
+
+O desvio seria \(S=\sum (y-ax^2-bx-c)^2\), faríamos então:
+
+$$\frac{\partial S}{\partial a} = \frac{\partial S}{\partial b} = \frac{\partial S}{\partial c}= 0$$
+
+
+A grande sacada é perceber que as equações são lineares nos coeficientes e não em \(x\). Claramente, uma regressão de uma parábola terá termos quadráticos em \(x\), mas as equações da minimização são lineares em \(a\), \(b\) e \(c\). 
+
+
+
+No fim, você chegará a uma equação matricial que te dá os coeficientes do polinômio para qualquer grau \(N\)[^3]:
+
+$$\text{coeficientes} = (A^T A)^{-1} A^T y$$
+
+É interessante pensar que você, em teoria, pode fazer o método dos mínimos quadrados para um polinômio arbitrário com uma linha de Python.
+
+Caso queiram ver mais sobre, recomendo este [artigo](https://www.researchgate.net/publication/337103890_Linear_Least_Squares_Versatile_Curve_and_Surface_Fitting_CDT-17) do Luciano da Fontoura Costa. Ele é um pesquisador do IFSC que, além dos seus artigos de pesquisa, também publica vários materiais interessantes a nível de graduação chamados de CDT (Costa’s Didactic Texts).
+
+# Regressão Exponencial
+
+Também podemos usar o mesmo método para o caso exponencial, aplicando um truque simples:
+
+$$y = Ae^{kx}$$
+$$\text{Tomando log dos dois lados}$$
+$$\ln(y) = kx + \ln(A)$$
+
+Que é uma equação linear se plotarmos \(x \times \ln(y)\). Talvez seja difícil ver que isso é realmente uma reta. Minha sugestão é esquecer totalmente a variável \(y\) original e pensar que existe uma nova variável chamada \(Y\) que se conecta com \(y\). Assim, \(Y = \ln(y)\). Como \(\ln(A)\) é uma constante, vamos dar um novo nome, por que não \(B = \ln(A)\)? Reescrevendo a equação:
+
+$$Y = kx + B$$
+
+Agora creio que seja fácil ver que é de fato linear, a menos de uma transformação de variável.
+
+## Regressão Lei de Potência
+
+Uma lei de potência segue o mesmo truque:
+
+$$y = Ax^n$$
+$$\text{Tomando log dos dois lados}$$
+$$\ln(y) = n\ln(x) + \ln(A)$$
+
+Se fizermos um gráfico \(\ln(y) \times \ln(x)\), teremos uma reta.
+
+[^1]: Sim, existem outros critérios. A minimização do módulo dos desvios também é válida (e em alguns casos até melhor do que o método dos mínimos quadrados), mas os mínimos quadrados têm a vantagem de ter uma solução analítica fechada usando apenas o ferramental básico de Cálculo I e Álgebra Linear, então certamente tem um apelo maior para a graduação.
+
+[^2]: Mas você só provou que um extremo da função ocorre em \(a\) e \(b\), não que seja um mínimo! Bem, existe um passo geralmente omitido que seria a análise de que a função \(S\) é quadrática em \(a\) e \(b\), ela é **convexa**! Um dos teoremas mais fortes e úteis de otimização de funções convexas é que o extremo local é o extremo global. Pela convexidade, se provamos que é um extremo, então ou é um mínimo ou é um máximo. Claramente não é um máximo. Informalmente, podemos pensar que é sempre possível achar uma reta pior.
+
+[^3]: Essa fórmula jogada não significa muita coisa, mas o interessante é que os mínimos quadrados possuem uma interpretação geométrica bem legal. Se o polinômio passasse por todos os pontos, teríamos um sistema linear \(A\vec{x} = \vec{b}\), mas não temos isso. Na verdade, temos \(A\vec{x} \approx \vec{b}\). Os mínimos quadrados são equivalentes a minimizar \(||A\vec{x} - \vec{b}||^2\). Estamos minimizando a norma da distância entre os vetores, fazendo a projeção ortogonal de um no outro. Esse vetor pode ser encontrado aplicando a pseudo-inversa de Penrose (sim, o mesmo Penrose do Nobel de 2020). Ela não é exatamente uma inversa porque não estamos resolvendo o sistema exatamente, mas sim, estamos atrás do vetor que está mais "próximo" da solução.

mkdocs.yml

@@ -2,10 +2,10 @@ site_name: LabIFSC2
 nav:
   - Sobre: index.md
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-  - Constantes: Constantes/constantes da natureza.md
+  - Constantes: constantes da natureza.md
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   - Formataçõs/LaTeX: formatacoes_latex.md
   - Como erros são propagados?: propagacao_de_erros.md

tests/test_doc_lei_de_hook.py

@@ -0,0 +1,35 @@
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+from LabIFSC2 import *
+
+forças=linspaceM(0,10,10,'N',0.1) #variando a força
+deslocamentos=arrayM([0,0.5,1.1,1.6,2,2.3,2.8,3.2,3.7,4],'cm',0.01) #medindo deslocamentos
+
+linha=regressao_linear(deslocamentos,forças)
+print(linha)
+#MPolinomio(coefs=[(2,51 ± 0,06) N/cm, (-3 ± 2)x10⁻¹ N],grau=1)
+print(f"Constante da mola {linha.a:si}") 
+#Constante da mola (2,51 ± 0,06)x10² kg/s²
+
+unidade_x='cm'
+unidade_y='N'
+
+plt.style.use('ggplot')
+
+plt.scatter(nominais(deslocamentos,unidade_x),
+         nominais(forças,unidade_y),
+         label='Dados',
+         color='red')
+
+x=linspaceM(0,4,100,unidade_x,0)
+
+plt.plot(nominais(x,unidade_x),
+         linha.amostrar(x,unidade_y),
+         label='Regressão linear',
+         color='blue')
+
+plt.xlabel(f'Deslocamento ({unidade_x})')
+plt.ylabel(f'Força ({unidade_y})')
+
+plt.legend()
+plt.savefig('teste.jpg',dpi=300)