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math/SquareFibonacci/README.md

@@ -109,15 +109,28 @@ $L_{-6} = 18$ は条件を満たす。それ以外は (2) と同様。
 
 
 ### 定理 5
-$F_n = x^2$ となるのは $n = \pm 1, 2, 12$ のときのみ。
+$F_n = x^2$ となるのは $n = 0, \pm 1, 2, 12$ のときのみ。
 
 証明
 
 #### (1) $2|n$ のとき
-TODO
+$m$ を有理整数として $n=2m$ としてよい。
+$F_n=F_mL_m$ と (gcd-3) および (gcd-not-3) から、$(F_m, L_m) = (2x^2, 2y^2)$ あるいは $(F_m, L_m) = (x^2, y^2)$ が成立する。($x, y$ は有理整数)
+
+$3|m$ のとき、(gcd-3) から $(F_m, L_m) = (2x^2, 2y^2)$ である。
+定理 4 から、 $m = 0, \pm 6$ である。その中で $F_{2m}$ が平方数になるのは $m = 0, 6$ ($n = 0, 12$) のみである。
+
+$3 \not| m$ のとき、(gcd-not-3) から $(F_m, L_m) = (x^2, y^2)$ である。
+定理 3 から、 $m = 1$ ($n = 2$) である。このとき実際に $F_{2m} = F_2 = 1$ は平方数。
 
 #### (2) $2 \not| n$ のとき
-TODO
+$n \equiv 1 \pmod 4$ のとき:
+$n=1$ のとき $F_n = F_1 = 1$ は平方数。
+$n \ne 1$ のとき、ある有理整数 $d \ge 2$ と奇数 $c$ を使って $n = 1 + 2^dc$ と表せる。 そのあとは (*) の議論を使う。
+
+$n \equiv -1 \pmod 4$ のとき:
+$n=-1$ のとき $F_n = F_{-1} = 1$ は平方数。
+$n \ne -1$ のとき、ある有理整数 $d \ge 2$ と奇数 $c$ を使って $n = -1 + 2^dc$ と表せる。 そのあとは (*) の議論を使う。
 
 [[Cohn]]: https://math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html